Maximos y minimos en la economia

Se dice que una función z= f(x, y) tiene un Máximo Local en el punto (x0, y0), esto es cuando x= x0 y y= y0, si para todo punto x, y en el plano que este lo suficientemente cercano a (xo,y0)se tiene:
F(x0,y0) ≥ f(x, y)

Para un Mínimo Local, remplazamos en la ecuación anterior, ≥ por ≤
F(x0,y0) ≤ f(x, y)

Aplicación de máximos y mínimos:
Se pueden utilizar para cuando se quiere obtener variables como la utilidad total, la utilidad máxima y cuando se quiere conocer el volumen de producción necesario para llegar a esto.
Ejemplo:
Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 c/u el costo total de la empresa por producir x unidades esta dado por la siguiente expresión.
C= 50+1.3x+0.001x3

Escribir la expresión para la utilidad total.
Determinar el volumen de la producción x de modo que la utilidad sea máxima.

U = R – C

U = 4x-(50+ 1.3x + 0.001x2)

U (x) = 4x-50-1.3x-0.001x2
U (x)= 2.7x-0.001x2-56

U’ (x)=2.7-0.002x = 0

x= 2.7/0.002 = 1350
U(1350) = 2.7 (1350)-0.001 (1350)2 -50

U (1350) = 1772.5

Aquí se muestra un ejemplo de como se ven gráficamente los máximos y mínimos locales





















DEMANDAS COMPENSADAS

Estas demandas son de vital importancia, pues se implementan en muchos de los procesos matemáticos desarrollados para lograr una mejor eficiencia en la economia.

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

∂z/∂y 〖=lim〗┬(∆y→0)⁡ = (f (x,y+ ∆y)- f(x,y))/∆y
∂z/∂x 〖=lim〗┬(∆x→0)⁡ = (f (x+ ∆x,y)- f(x,y))/∆x

Estas derivadas se pueden implementar en una innumerable cantidad de procesos económicos muy importantes, entre los cuales se encuentra la productividad Marginal, en la cual se indica se el incremento de producción que puede lograrse mediante adiciones en una unidad de alguno de los factores (capital y trabajo)
P= F (l, k)
∂P/∂L = Marginalidad de la mano de obra
∂P/∂K = Marginalidad de capital

Dada la función de producción, determine las productividades marginales para L, K

P (L, K) = 50L+3L2-4L3+3LK+7K-K2
L= 4 K=8

∂P/∂L = 50+6L-12L2+3K Para L =4 K=8

∂P/∂L = 50+6 (4)-12(4)2+3(8)
50+24-192+24 = -94

∂P/∂K = 3L+7-2K

∂P/∂K = 3(4)+7-2(8)= 3